Geometry of complex Monge-Ampère equations on compact Kähler manifolds

Résumé : Dans les années 70, Aubin-Yau ont résolu le problème de l’existence de metriques kähleriennes à courbure de Ricci constante négative ou nulle sur les variétés kähleriennes compactes. En particulier, ils ont prouvé l’existence et la régularité de la solution de l'equation de Monge-Ampère (\omega+dd^c \varphi)^n= f\omega^n où la forme \omega est kählerienne et la densité f est lisse. Dans cette thèse on étudie les équations de Monge-Ampère dégénérées, où le mot “dégénérée” signifie ou bien que la classe de cohomologie est seulement big et non plus kählerienne, ou que les densités ont des singularités sur un diviseur. Si on considère une équation du type (⋆) (\theta + dd^c \varphi)^n= \mu où \mu est une mesure positive, il n'est pas toujours possible de donner un sens à la partie gauche de (⋆). Cependant, Guedj et Zeriahi ont observé que la construction par suite de Bedford et Taylor permet dans le cas global de d ́efinir la partie non-pluripolaire de la mesure positive (\theta+dd^c \varphi)^n pour toute fonction \theta-psh, où \theta est un represenant lisse dans la classe big. La notion de classes big est invariante par biméromorphisme tandis que ce n'est pas le cas dans le cadre des classes kähleriennes. Donc, il est naturel d'étudier les propriétés d'invariance du produit non-pluripolaire dans le contexte de classes de cohomologie big. En effet, on montre que le produit non-pluripolaire est un invariant biméromorphe. En généralisant la fonctionnelle d'énergie de Aubin-Mabuchi, Boucksom, Eyssidieux, Guedj et Zeriahi ont introduit des énergies pondérés associées à des classes big. Sous certaines hypothèses naturelles, on d ́emontre que ces énergies sont ́egalement des invariants par biméromorphisme. Nous étudions également les mesures de probabilité à énergie finie (ce concept était introduit par Berman, Boucksom, Guedj et Zeriahi) et prouvons que cette notion est un invariant biholomorphe mais pas biméromorphe. Par ailleurs, nous donnons des critères pour s'assurer qu'une mesure donnée est à énergie finie. Nous étudions ensuite les équations de Monge-Ampère sur les variétés quasi-projectives. En particulier, on considère une variété kählerienne compacte, D un diviseur et on étudie l'équation (\omega+dd^c \varphi)^n= f\omega^n où f est lisse en dehors de D. Nous démontrons que l'unique solution \varphi (normalisée) est lisse en dehors de D (travail en collaboration avec Hoang Chinh Lu). La solution n'est pas bornée en general, et donc l'idée est de trouver la bonne fonction “modèle” (à priori singulière) qui est une borne inférieure de la solution. Pour faire cela on a introduit les capacités de Monge-Ampère géneralisées, et on les a utilisées en suivant l’approche de Kolodziej, qui, cependant est valable pour les fonctions globalement bornées uniquement. Ces capacités, qui généralisent la capacité de Bedford et Taylor, s' avèrent être le point clé pour étudier l’existence et la régularité des solutions des ́équations de Monge-Ampère du type (\omega+dd^c \varphi)^n= \exp{\lambda \varphi} \omega^n, \lambda\in \mathbb{R} où f a des singularités le long d'un diviseur. Nous traitons aussi des cas où f n'est pas intégrable, un problème important pour l'existence de metriques de Kähler-Einstein singulières sur des variétés du type general avec singularités de type log-canoniques.
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Thèse
Differential Geometry [math.DG]. Université Toulouse III Paul Sabatier; Università degli Studi di Roma Tor Vergata, 2014. English
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Contributeur : Eleonora Di Nezza <>
Soumis le : dimanche 8 janvier 2017 - 12:31:54
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Eleonora Di Nezza. Geometry of complex Monge-Ampère equations on compact Kähler manifolds. Differential Geometry [math.DG]. Université Toulouse III Paul Sabatier; Università degli Studi di Roma Tor Vergata, 2014. English. <tel-01429436>

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